In der News New Special Issue von Big Data Journal auf Big Data für soziale Gute CNBC: Geschwindigkeit - nur HFT Vorteil nicht so schnell Vasant Dhar ernannt Chefredakteur der Big Data Data Science und Prognose Financial Times: Business Schools Gesicht a Herausfordernde Zukunft CNBC: Wie kann Facebook Monetize seine Daten verdrahtet Magazin: Get Paid für Ihre Daten auf Facebook Financial Times: Lektionen für Privatsphäre von Sonys Data Theft CIO Magazin: Dont Gamble Ihr Unternehmen Reputation auf Data Governance Forbes: Neue Phase für die Verlagsindustrie Vasant Dhar Ist ein Data Scientist, dessen Forschung die folgende Frage behandelt: Wann machen Computer bessere Entscheidungen als Menschen Dhars breitere Interessen zählen Data and IT Governance. Dhars Forschung auf Entscheidungsfindung ist in Künstliche Intelligenz, Machine Learning und Daten groß und klein. Die Hauptproblembereiche, die in der Forschung angesprochen werden, sind Finanzierung, Gesundheitspflege, Ausbildung, Geschäft und Sport. In der Finanzwelt, zum Beispiel, fragt sich seine wichtigste Frage, ob Sie Ihr Geld an einen Roboter vertrauen sollten. Zum Beispiel, siehe hier. Ähnliche Fragen gelten auch für die anderen Arenen. Zum Beispiel könnten Computer machen bessere Lehrer als Menschen Könnten sie bieten wertvolle medizinische Beratung für uns, dass Experten arent in der Lage zu bieten Könnten sie wertvolle Assistent Coaches werden Kürzlich vor fünf Jahren wäre es scheinbar widersinnig zu denken, dass Computer Autos fahren könnte besser Als die Menschen in unserem Leben noch fahrerlose Autos sind schon hier. Computer machen immer mehr Entscheidungen für uns, und zunehmend auch in Bereichen, die menschliches Urteil erfordern. Wie können wir die schnellen Fortschritte in der Maschinellen Intelligenz in Bereichen wie Finanzen, Gesundheitswesen und Bildung nutzen Dhar lehrt Kurse über Digital Marketing, Trading-Strategien und Vorhersage. Professor Dhar erhielt seinen Bachelor of Technology vom indischen Institut für Technologie in Delhi und seinen Master of Philosophy und Doktor der Philosophie von der University of Pittsburgh. Paduano Fellow, Professor Leiter Information Systems Group Stern Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät New York University 44 West 4th Street KMC 8-97 New York, NY 10012 Telefon: 212.998.0816 Fax: 212.995.4228 email: vdharstern. nyu. eduArbeitstrategien und Systeme nyu . Kostenlose Binärsignale. Intercarpol. de Handelsstrategien und - systeme nyu 8211 Liste der binären Optionen Scams Markt Gewinn Gewinn Trades mehrmals Hallo Trader und. Short in solchen Finanzsystemen mit meiner Website Leverage. Vdhar. Bericht als einfaches Handelssystem verwendet verwendet das Devisenhandelssystem. 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MATH-GA.1420-001 Einführung in die Mathematische Analyse II 3 Punkte, Donnerstags, 5: 10-7: 00 PM, Scott Armstrong Messen Sie Theorie und Lebesgue-Integration auf dem euklidischen Raum. Konvergenzsätze. L p Räume und Hilbert Räume. Die Fourierreihe. Einführung in die abstrakte Maßtheorie und Integration. RecitationProblem-Sitzung. 7: 10-9: 00 (nach dem Kurs) MATH-GA.2012-001 Fortgeschrittene Themen In Numerical Analysis: Hochleistungsrechnen 3 Punkte, Donnerstags, 5: 10-7: 00PM, Georg Stadler Voraussetzungen: (serielle) Programmierkenntnisse Mit CC (ich benutze C in der Klasse) oder FORTRAN, Grundkenntnisse der Kommandozeilen-UNIX-Tools, und einige vertraut mit numerischen Methoden. Diese Klasse wird eine Einführung in die Grundlagen der parallelen wissenschaftlichen Computing. Wir werden ein grundlegendes Verständnis moderner Computerarchitekturen (CPUs und Beschleuniger, Speicherhierarchien, Interconnects) und paralleler Ansätze zur Verwendung und Programmierung dieser Rechner (verteilte und gemeinsam genutzte Parallelität: MPI, OpenMP, OpenCL) etablieren. Probleme wie Lastverteilung, Kommunikation und Synchronisation werden im Kontext paralleler numerischer Algorithmen behandelt und dargestellt. Da eine Voraussetzung für eine gute parallele Leistung eine gute serielle Leistung ist, wird dieser Aspekt ebenfalls behandelt werden. Auf dem Weg werden Sie wichtige Werkzeuge für High Performance Computing wie Debugger, Scheduler, Visualisierung und Versionskontrolle Systeme ausgesetzt sein. Dies wird eine Hands-on-Klasse mit mehreren Computing-Hausaufgaben sein, in denen Sie Material von selbst erkunden und Dinge ausprobieren. Es wird ein größeres Endprojekt am Ende geben. Studenten, die Code, den sie parallelisieren oder beschleunigen möchten, werden aufgefordert, teilzunehmen, und verwenden Sie diese für ihre endgültige Projekt. Text: Neben verschiedenen Online-Ressourcen verwenden wir: Parallelprogrammierung für Multicore und Cluster Systemsquot von T. Rauber und G. Ruenger, Springer, 2. Auflage (2013). Online verfügbar im Institut. Querverweis. CSCI-GA 2945.001 MATH-GA.2012-002 Fortgeschrittene Themen In Numerical Analysis: Monte Carlo 3 Punkte, Montag, 5: 10-7: 00PM, Jonathan Goodman Voraussetzungen: Die Schüler müssen eine gute Oberstufe Undergraduate Mathematik Hintergrund einschließlich linearer Algebra, Wahrscheinlichkeit und multivariaten Kalkül. Kursarbeit in der numerischen Berechnung ist wünschenswert. Die Schüler sollten in der Lage sein, numerische Programmierung in Python, CC, Java, Fortran, R oder Matlab zu tun. Studierende ohne Python-Erfahrung müssen in den ersten Wochen einige Anstrengungen unternehmen. Erste Hälfte: Eine Einführung in die praktischen Monte-Carlo-Methoden, mit einigen der grundlegenden Theorie, mit Anwendungen für statistische Physik und Chemie, und Bayes-Statistik. Pseudozufallszahlengeneratoren. Direkte Probenahmeverfahren, einschließlich Zuordnungen und Ablehnung. Markov Kette Monte Carlo (MCMC), Metropolis Hastings, detaillierte Balance, teilweise resamplingheat Bad. Grundlegende MCMC Theorie, einschließlich Perron Frobenius und das ergodische Theorem, das Markov-Ketten-Zentralgrenztheorem und die Kubo-Formel für Autokorrelationszeit. Verfahren zum Schätzen der Autokorrelationszeit und Abschätzen von Fehlerbalken für MCMC-Ergebnisse. Zweite Hälfte: Spezialisierte Themen je nach Interessen und Hintergrund der Schüler in der Klasse. (A) fortgeschrittene Sampler: Hamilton-Sampler, affine invariante Ensemble-Sampler, mehrstufige Methoden, adaptive Sampler, (b) thermodynamische Integration, (c) Bayessche Modellselektion, (d) Seltene Ereignissimulation, (e) stochastisches Differential Gleichungen, (f) mehr Theorie: Spektrale Lücke, Poincare und Cheeger Ungleichungen. Zu den Aufgaben gehören sowohl die Programmierung in Python als auch theoretische Übungen. Die Zuordnungen unterstreichen Elemente der Programmiermethode, die für Monte-Carlo-Methoden relevant sind, einschließlich Verifikationsprotokollen und Visualisierungsmethoden. Es wird ein langfristiges Projekt durchgeführt, das einzeln oder in kleinen Gruppen durchgeführt wird. MATH-GA.2020-001 Numerische Methoden II 3 Punkte, dienstags, 5: 10-7: 00PM, Leslie Greengard Voraussetzungen. Numerische lineare Algebra, Elemente von ODE und PDE. Dieser Kurs behandelt grundlegende Methoden, die für die numerische Lösung von Differentialgleichungen wesentlich sind. Es ist für Studenten vertraut mit ODE und PDE gedacht und interessiert an numerischen Computer-Computer-Programmierung Aufgaben sind ein wesentlicher Bestandteil des Kurses. (3) Finite-Differential-, Finite-Elemente - und Integralgleichungsmethoden für ein elliptisches partielles Differential (1) Nichtlineare Gleichungen, Newton'sche Methode (2) gewöhnliche Differentialgleichungen, Runge-Kutta und mehrstufige Methoden, Konvergenz und Stabilität Gleichungen (4) schnelle Solver, Mehrgitterverfahren und (5) parabolische und hyperbolische partielle Differentialgleichungen. Text. LeVeque, R. (2007). Klassiker in der Angewandten Mathematik. Finite Differenzen-Methoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. Philadelphia, PA: Gesellschaft für industrielle und angewandte Mathematik. Querverweis. CSCI-GA 2421.001 MATH-GA.2048-001 Scientific Computing In Finance 3 Punkte, mittwochs, 5: 10-7: 00PM, Yadong Li Voraussetzungen. Risiko - und Portfolio-Management mit Econometrics, Derivative Securities und Computing in Finance Dies ist eine Version des Kurses Scientific Computing (MATH-GA 2043.001) für Anwendungen in quantitativen Finanzen. Es umfasst Software und algorithmische Werkzeuge notwendig, um praktische numerische Berechnung für moderne quantitative Finanzen. Spezifisches Material enthält IEEE-Arithmetik, Fehlerquellen im wissenschaftlichen Rechnen, numerische lineare Algebra (Betonung von PCASVD und Konditionierung), Interpolation und Kurvenbildung mit Anwendung auf Bootstrapping, Optimierungsmethoden, Monte-Carlo-Methoden und die Lösung von Differentialgleichungen Nicht erhalten Kredit für beide MATH-GA 2043.001 und MATH-GA 2048.001 MATH-GA.2110-001 Lineare Algebra I 3 Punkte, dienstags, 5: 10-7: 00PM, Jose Diaz-Alban Voraussetzungen. Undergraduate Lineare Algebra oder Erlaubnis des Lehrers. Lineare Räume, Unterräume. Lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit Span, Basis, Dimension, Isomorphismus. Quotienträume. Lineare Funktionalitäten, Doppelräume. Lineare Abbildungen, Nullraum, Reichweite, Grundsatz der linearen Algebra. Unterbestimmte Systeme linearer Gleichungen. Komposition, invers, Transponieren von linearen Karten, Algebra von linearen Karten. Ähnlichkeitstransformationen. Matrizen, Matrix Multiplikation, Matrix Inverse, Matrix Darstellung der Linear Maps Determinante, Laplace Expansion, Cramer39s Regel. Eigenwertproblem, Eigenwerte und Eigenvektoren, charakteristisches Polynom, Cayley-Hamilton-Theorem. Diagonalisierung. Text. Lax, P. D. (2007). Pure and Applied Mathematics: Eine Reihe von Wiley Texten, Monographien und Tracts Series, Bk. 78. Lineare Algebra und ihre Anwendungen (2. Aufl.). Hoboken, NJ: John Wiley amp Söhne Wiley-Interscience. MATH-GA.2120-001 Lineare Algebra II 3 Punkte, Montags, 5: 10-7: 00PM, Jose Diaz-Alban Voraussetzungen. Lineare Algebra I oder Erlaubnis des Lehrers. Bewertung von: Trace, Determinante, Merkmal und Minimalpolynom. Eigenwerte, Diagonalisierung, Spektralsatz und Spektraldatensatz. Wenn die Diagonalisierung fehlschlägt: nilpotent Operatoren und ihre Struktur, generalisierte Eigenraumzerlegung, jordanische kanonische Form. Polare und singuläre Wertzerlegungen. Komplexierung und Diagonalisierung über R. Matrix Normen, Serie und die Matrix Exponentialkarte, Anwendungen für ODE. Bilineare und quadratische Formen und ihre normalen Formen. Die klassischen Matrixgruppen: unitär, orthogonal, symplektisch. Implizite Funktion Theorem, glatte Oberflächen in R n und ihre Tangentialräume. Einführung in Matrix Lie-Algebren und Lie-Gruppen. Text. Friedberg, S. H. Insel, A. J. Amp Spence, L. E. (2003). Lineare Algebra (4. Aufl.). Oberer Saddle River, NJ: Prentice-Halle Pearson Ausbildung. Plus: Umfangreiche instructorrsquos Klasse Notizen. MATH-GA.2140-001 Algebra II 3 Punkte, Montags, 7: 10-9: 00PM, Robert Ji Wai Young Darstellungen von endlichen Gruppen. Charaktere, Orthogonalität von Zeichen von irreduziblen Darstellungen, ein Ring von Repräsentationen. Induzierte Darstellungen, Artin39s Theorem, Brauer39s Theorem. Darstellungen kompakter Gruppen und der Peter-Weyl-Satz. Lie-Gruppen, Beispiele von Lie-Gruppen, Darstellungen und Zeichen der Lie-Gruppe. Lie-Algebren mit Lie-Gruppen assoziiert. Anwendungen der Gruppenrepräsentationen in Algebra und Physik. Elemente der algebraischen Geometrie. Fulton, W. Harris, J. (2008). Graduate Texte in Mathematik Lesungen in Mathematik Serie, Bk.129. Repräsentationstheorie: Ein erster Kurs (korrigiert Hrsg.). New York, NY: Springer-Verlag. Lang, S. (2005). Graduierte Texte in Mathematik Serie, Bk. 211. Algebra (3. Ausgabe). New York, NY: Springer-Verlag. Serre, J. P. (1977). Graduierte Texte in Mathematik Serie, Bk. 42. Lineare Darstellungen endlicher Gruppen. New York, NY: Springer-Verlag. Reid, M. (1989). London Mathematische Gesellschaft Studenten Texte Serie. Undergraduate Algebraische Geometrie. New York, NY: Universität von Cambridge. James, G. amp Liebeck, M. (1993). Cambridge Mathematische Lehrbücher Serie. Darstellungen und Zeichen von Gruppen. New York, NY: Universität von Cambridge. Artin, M. (2010). Algebra (2. Aufl.). Oberer Saddle River, NJ: Prentice-Halle Pearson Ausbildung. Sagan, B. E. (1991). Wadsworth Serie in Computer Information Systems Series. Die symmetrische Gruppe: Repräsentationen, kombinatorische Algorithmen und symmetrische Funktionen. Pacific Grove, Kalifornien: Wadsworth amp BrooksCole. Brock, T. amp Dieck, T. (2003). Graduierte Texte in Mathematik Serie, Bk. 98. Vertretungen kompakter Lie-Gruppen. New York, NY: Springer-Verlag. MATH-GA.2210-001 Einführung zur Zahlentheorie I 3 Punkte, mittwochs, 5: 10-7: 00PM, Dmitry Zakharov Voraussetzungen. Undergraduate Elementary Number Theory, abstrakte Algebra, einschließlich Gruppen, Ringe und Ideale, Felder und Galois-Theorie (z. B. Undergraduate Algebra I und II). Dieser Kurs ist eine graduierte Ebene Einführung in die algebraische Zahlentheorie, in denen wir Grundlagen des Themas zu decken. Themen sind die Theorie der Bewertung (p-adische Zahlen, Vollendung, lokale Felder, Henselsche Felder, Verzweigungstheorie, Galois-Theorie der Bewertungen) und Riemann-Roch-Theorie. Weitere Informationen finden Sie auf der Website des Kurses. Text. Neukirch, J. (1999). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Reihe, Buch 322.Algebraische Zahlentheorie. New York, NY: Springer-Verlag. MATH-GA.2320-001 Topologie II 3 Punkte, dienstags, 7: 10-9: 00PM, Sylvain Cappell Homologie und Kohomologie aus simplicial, singulär, zellular, axiomatisch und differenziert. Axiomatische Charakterisierungen und Anwendungen auf geometrische Probleme der Einbettung und Fixpunkte. Mannigfaltigkeiten und Poincar-Dualität. Produkte und Ringstrukturen. Vektorbündel, Tangentenbündel, DeRham-Kohomologie und Differentialformen. MATH-GA.2360-001 Differentialgeometrie II 3 Punkte, Donnerstags, 1: 25-3: 15 Uhr, Robert Ji Wai Junge Differentialgeometrie II konzentriert sich auf die Riemannsche Geometrie. Die zu behandelnden Themen können sein: zweite Variation der Bogenlänge, Rauch-Vergleichstheorem und Anwendungen, Toponogov39s Theorem, invariante Metriken auf Lie-Gruppen, Morse-Theorie, geschnittener Ort, der Kugel-Theorem, vollständige Mannigfaltigkeiten der nichtnegativen Krümmung. MATH-GA.2460-001 Komplexe Variablen II 3 Punkte, mittwochs, 5: 10-7: 00PM, Oleksandr Misiats Voraussetzungen. Komplexe Variablen I (oder gleichwertig). Das Grundsatztheorem der Algebra, das Argumentprinzip Kalkül der Reste, Fourier-Transformation der Gamma - und Zetafunktionen, Produkterweiterungen Schwarzes Prinzip der Reflexion und Schwarz-Christoffel-Transformation elliptische Funktionen, Riemann-Flächen konforme Abbildung und einwertige Funktionen Maximalprinzip und Schwarz39s Lemma das Riemann-Mapping Satz. Text. Ahlfors, L. (1979). Internationale Reihe in der reinen und angewandten Mathematik-Reihe, Bk. 7. Komplexe Analyse (3. Ausgabe). New York, NY: McGraw-Hügel. MATH-GA.2470-001 Übliche Differentialgleichungen 3 Punkte, Dienstags, 9: 00-10: 50AM, Dimitris Giannakis Voraussetzungen. Undergraduate Hintergrund in der Analyse, lineare Algebra und komplexe Variable .. Existenz und Eindeutigkeit der Ausgangswert Probleme. Lineare Gleichungen. Komplexe analytische Gleichungen. Grenzwertprobleme und Sturm-Liouville-Theorie. Vergleichssatz für Gleichungen zweiter Ordnung. Asymptotisches Verhalten nichtlinearer Systeme. Perturbationstheorie und Poincar-Bendixson-Theoremen. Empfohlener Text. Teschl, G. (2012). Graduate Studies in Mathematics Series, Vol. 140. Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme. Providence, RI: AMS Chelsea Veröffentlichung American Mathematical Society. MATH-GA.2500-001 Teilweise Differentialgleichungen II 3 Punkte, Dienstags, 9: 00-10: 50AM, Pierre Germain Voraussetzungen. MATH-GA 2490.001 PDE I und MATH-GA 2430.001 Echte Variablen oder das TH-GA 2430.001 Äquivalent. Dieser Kurs ist eine Fortsetzung des MATH-GA 2490 und wurde für Studenten entwickelt, die sich für Analysen und PDEs interessieren. Der Kurs gibt eine Einführung in Sobolev-Räume, Holderräume und die Theorie der Verteilungen elliptische Gleichungen, harmonische Funktionen, Grenzwertprobleme, Regelmäßigkeit von Lösungen, Hilbert-Raummethoden, Eigenwertprobleme allgemeine Hyperbelsysteme, Anfangswertprobleme, Energiemethoden lineare Auswertungsgleichungen , Fourier-Verfahren zur Lösung von Ausgangswertproblemen, parabelförmigen Gleichungen, Dispersionsgleichungen nichtlineare elliptische Probleme, Variationsverfahren Navier-Stokes und Euler-Gleichungen. Empfohlene Texte. Garabedian, P. R. (1998). Teilweise Differentialgleichungen (2. Providence, RI: AMS Chelsea Veröffentlichung American Mathematical Society. Evans, L. C. (2010). Graduiertenstudien in Mathematik, Bk. 19. Teilweise Differentialgleichungen (2. Aufl.). Providence, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft. John, F. (1995). Angewandte Mathematische Wissenschaften Serie, Bd. 1. Teilweise Differentialgleichungen (4. Aufl.). New York, NY: Springer-Verlag. MATH-GA.2563-001 Harmonische Analyse 3 Punkte, Montags, 9: 00-10: 50AM, Fengbo Hang Voraussetzungen. Realanalyse Grundkenntnisse komplexer Variablen und Funktionsanalyse. Klassische Fourier-Analyse: Fourier-Reihe auf dem Kreis, Fourier-Transformation auf dem Euklidischen Raum, Einführung in Fourier-Transformationen auf LCA-Gruppen. Stationäre Phase. Themen in reellen Variablenmethoden: Maximale Funktionen, Hilbert - und Riesz-Transformationen und singuläre Integraloperatoren. Zeit erlaubt: Einführung in die Littlewood-Paley-Theorie, Zeit-Frequenz-Analyse und Wavelet-Theorie. Empfohlener Text. Muscalu, C. amp Schlag, W. (2013). Cambridge Studies in Advanced Mathematics Series, Bk. 137. Klassische und multilineare Oberschwingungsanalyse (Vol. 1). New York, NY: Universität von Cambridge. (Online-Version verfügbar für NYU Benutzer durch Cambridge University Press.) MATH-GA.2620-001 Fortgeschrittene Themen In PDE: Resonanzen In PDEs 3 Punkte, dienstags, 11: 00-12: 50PM, Jalal Shatah Diese Klasse soll die erklären Mathematische Werkzeuge verwendet, um die Wirkung von Resonanzen auf die Langzeitdynamik von nichtlinearen hyperbolischen und dispersiven PDEs zu untersuchen. Die Modellgleichungen, die wir betrachten werden, sind die nichtlineare Klein-Gordon-Gleichung und die nichtlineare Schrödinger-Gleichung. Die Vorlesungen werden wie folgt durchgeführt: 1) Überprüfung der Resonanzen in ODEs, Poincare Normalformen und Birkhoff Normalformen 2) Normalformanalyse für PDEs und ihre Auswirkungen auf die Existenzzeit von Lösungen und 3) Asymptotische Dynamik der NLS mit periodischer Grenze Bedingungen. Die mathematischen Werkzeuge, die wir in dieser Klasse vorstellen werden, sind: 1) Normalformen und Mittelung 2) Fourieranalyse und Äquidistribution von Gitterpunkten 3) Die Kreismethode. Diese Werkzeuge werden vorgestellt, um Resonanzfrequenzen zu erklären und wie sie zu zählen sind. Ein beträchtlicher Teil der Klasse wird der Erläuterung der Fourier-Analysetechniken gewidmet, die verwendet werden, um die Asymptotik der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung mit periodischen Randbedingungen abzuleiten. MATH-GA.2660-001 Advanced Topics In Analysis: Einführung in differenzierbare dynamische Systeme 3 Punkte, mittwochs, 1: 25-3: 15PM, Lai-Sang Young Voraussetzungen. Reale Analyse auf der Graduiertenebene. Dies ist das zweite Semester eines Jahres Kurs auf dynamische Systeme. Es ist eine einführende Sequenz, die keine Vorkenntnisse des Themas erfordert. Im Herbstsemester werde ich vor allem die ergodische Theorie behandeln, einen probabilistischen Ansatz für dynamische Systeme. Zu den Themen gehören Ergometrie, Vermischungseigenschaften, Entropie-Ergometrie der kontinuierlichen und differenzierbaren Karten, Lyapunov-Exponenten usw. Im Frühjahrssemester stehen differenzierbare dynamische Systeme im Fokus. Themen sind invariante Mannigfaltigkeiten, Hyperbolizität und verschiedene Modelle chaotischer Systeme. MATH-GA.2660-002 Erweiterte Themen in der Analyse: Vriflds - Thry amp Anwendungen 3 Punkte, dienstags, donnerstags, 1: 25-3: 15PM, Fanghua Lin Voraussetzungen: Real Variablen (Maßtheorie), grundlegende elliptische partielle Differentialgleichungen und Flächen In euklidischen Räumen. Dieser Themenkurs wird eine grundlegende Theorie der Varifolds zu decken. Insbesondere erste Variationen, monotonische Formel, isoperimetrische Ungleichheit, Rektifizierbarkeit, Tangentenkegel und Regelmäßigkeitstheorie. Einige Beispiele für Anwendungen und Verallgemeinerungen werden im späteren Teil des Kurses besprochen. Literatur: Allard, William K. 1 Auf der ersten Variation eines Varifolds. Ann. Von Mathe. (2) 95 (1972), 417ndash491. 2 Auf der ersten Variation eines Varifolds: Grenzverhalten. Ann. Von Mathe. (2) 101 (1975), 418ndash446. F. H.Lin, Geometrische Maßtheorie - Eine Einführung, Internationale Presse, Boston (2002). MATH-GA.2660-003 Advanced Topics In Analysis: Variationsrechnung 3 Punkte, Montags, 1: 25-3: 15PM, Robert Kohn Voraussetzungen: Real Variablen I und PDE I (oder gleichwertig) Eine moderne Einführung in die Variationsrechnung , Mit gleichem Schwerpunkt auf Theorie und Anwendungen. Die Themen umfassen: Existenz von Lösungen und Konvergenz von numerischen Schemata konvexe Dualität eindimensionale Variations-Probleme multidimensionale nicht-konvexe Probleme Relaxation Gamma-Konvergenz-Homogenisierung und energiegetriebene Musterbildung. Entlang des Weges diskutieren wir viele Anwendungen, darunter minimale Oberflächen, optimale Kontrolle, nichtlineare Elastizität, Kompositmaterialien und Musterbildungsprobleme mit Defekten oder Wänden. Es gibt keinen erforderlichen Text. MATH-GA.2660-004 Fortgeschrittene Themen in der Analyse: Coulomb Gase 3 Punkte, mittwochs, 11: 00-12: 50PM, Sylvia Serfaty In diesem Kurs werden wir daran interessiert sein, Werkzeuge aus der Analyse und der Wahrscheinlichkeit zu verwenden, um Coulomb-Systeme zu beschreiben. Genauer gesagt bedeutet dies, daß große Mengen von Punkten, die über Coulomb, logarithmische oder allgemeinere Riesz-Wechselwirkungen (d. H. Inversen der Distanz) Wechselwirkungen miteinander interagieren, im allgemeinen mit der Temperatur. Diese Systeme sind wichtige statistische Mechanik-Ensembles und entstehen in verschiedenen Einstellungen in Bezug auf Physik (Wirbel in Supraleitern), Approximationstheorie (Fekete-Sätze) und Zufallsmatrizentheorie (GUE, GOE und Ginibre-Ensembles) und wurden Gegenstand vieler Studien In den letzten Jahren mit verschiedenen Standpunkten. In diesem Kurs werden wir, nachdem wir einige der Motivationen für das Studium solcher Systeme untersucht haben, einen Standpunkt vertreten, der auf der detaillierten Erweiterung der Wechselwirkungsenergie basiert. Damit lässt sich das makroskopische und mikroskopische Verhalten der Systeme beschreiben. Insbesondere ist das Ziel des Kurses, ein großes Abweichungsprinzip für das empirische Feld und einen zentralen Grenzwertsatz für Fluktuationen bis hin zu den mesoskopischen Skalen zu zeigen. Dies ermöglicht es, die Wirkung der Temperatur zu beobachten, da sie sehr groß oder sehr klein wird und mit Kristallisationsfragen zu verbinden. Der Kurs wird Kenntnisse der realen Analyse, funktionale Analyse und sehr grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeit. MATH-GA.2704-001 Angewandte Stochastische Analyse 3 Punkte, Montags, 1: 25-3: 15 Uhr, Miranda Holmes-Cerfon Voraussetzungen: Grundwahrscheinlichkeit (oder gleichwertiger Master-Levelwahrscheinlichkeitskurs), Lineare Algebra Anfangsstudium) Kenntnisse der ODEs, PDEs und Analysen. Dies ist eine Diplom-Klasse, die die wichtigsten Themen in der stochastischen Analyse aus einer angewandten mathematischen Perspektive vorstellen wird. Zu den Themen gehören Markov-Ketten, stochastische Prozesse, stochastische Differentialgleichungen, numerische Algorithmen und Asymptotiken. Dabei wird besonders auf den Zusammenhang stochastischer Prozesse und PDEs sowie auf physikalische Grundlagen und Anwendungen geachtet. Die Klasse wird versuchen, eine Balance zwischen rigoristischen und heuristischen Argumenten zu finden: sie wird davon ausgehen, dass die Studierenden eine gewisse Vertrautheit mit Maßtheorie und - analyse haben und gelegentlich darauf Bezug nehmen werden, aber viele Ergebnisse werden durch andere Argumente abgeleitet. Die Zielgruppe sind Doktoranden in angewandter Mathematik, die sich mit den Werkzeugen vertraut machen oder sie in ihrer Forschung nutzen müssen. Stochastische Prozesse und Anwendungen, von G. A. Pavliotis. C. Gardiner, Stochastische Methoden: Ein Handbuch für die Natur - und Sozialwissenschaften MATH-GA.2708-001 Algorithmisches Trading amp Quantitative Strategien 3 Punkte, dienstags, 7: 10-9: 00PM, Petter Kolm Voraussetzungen. Computing in Finance und Risk Portfolio Management mit Econometrics oder gleichwertig. In diesem Kurs entwickeln wir einen quantitativen Investitions - und Handelsrahmen. Im ersten Teil des Kurses studieren wir die Mechanismen des Handels an den Finanzmärkten, einige typische Handelsstrategien und wie man mit Hochfrequenzdaten arbeitet und modelliert. Dann wenden wir uns Transaktionskosten und Marktauswirkungen Modelle, Portfolio-Konstruktion und robuste Optimierung, und optimale Wett-und Ausführungsstrategien. Im letzten Teil des Kurses konzentrieren wir uns auf Simulationstechniken, Back-Test-Strategien und Performance-Messungen. Wir verwenden fortgeschrittene ökonometrische Instrumente und modellieren Risikominderungstechniken während des Kurses. Handouts und Referenzen werden zu jedem Thema zur Verfügung gestellt. 3 Punkte, mittwochs, 1: 25-3: 15PM, Oliver Bühler Voraussetzungen: Grundsätzliche und partielle Differentialgleichungen. Dieser Kurs bietet eine mathematische Einführung in die Mechanik für Absolventen Studierende vorbereiten für die Erforschung der physikalischen Wissenschaft Themen in der angewandten Mathematik oder angewandter Wahrscheinlichkeit. Es umfasst grundlegende Kernthemen auf einer fortgeschrittenen mathematischen Ebene und es bietet auch Beispiele für Anwendungen aus der jüngsten Forschung gezogen. Die Kernthemen sind: klassische Mechanik (diskrete und kontinuierliche), statistische Mechanik und Quantenmechanik. Für diese Klasse sind keine Vorkenntnisse erforderlich. Lehrbuch: Oliver Bühler, Eine kurze Einführung in die klassische, statistische und Quantenmechanik Courant Vorlesungsunterlagen 13, American Mathematical Society, 2006. MATH-GA.2751-001 Risikomanagement Portfolio Management WEconometrics 3 Punkte, mittwochs, 7: 10-9: 00PM, Marco Avellaneda Risk Management ist wohl eines der wichtigsten Instrumente für die Verwaltung eines Handelsbuches und die Quantifizierung der Auswirkungen von Hebelwirkung und Diversifizierung (oder deren Fehlen). Dieser Kurs ist eine Einführung in die Risikomanagement-Techniken für Portfolios von (i) Aktien und Delta-1-Wertpapieren und Futures (ii) Aktienderivaten (iii) festverzinslichen Wertpapieren und Derivaten, einschließlich Kreditderivaten und (iv) hypothekenbesicherten Wertpapieren . A systematic approach to the subject is adopted, based on selection of risk factors, econometric analysis, extreme-value theory for tail estimation, correlation analysis, and copulas to estimate joint factor distributions. We will cover the construction of risk-measures (e, g. VaR and Expected Shortfall) and historical back-testing of portfolios. We also review current risk-models and practices used by large financial institutions and clearinghouses. If time permits, the course will also cover models for managing the liquidity risk of portfolios of financial instruments. MATH-GA.2752-001 Active Portfolio Management 3 Points, Mondays, 5:10-7:00PM, Jerome Benveniste Prerequisites . Risk amp Portfolio Management with Econometrics, Computing in Finance. The first part of the course will cover the theoretical aspects of portfolio construction and optimization. The focus will be on advanced techniques in portfolio construction, addressing the extensions to traditional mean-variance optimization including robust optimization, dynamical programming and Bayesian choice. The second part of the course will focus on the econometric issues associated with portfolio optimization. Issues such as estimation of returns, covariance structure, predictability, and the necessary econometric techniques to succeed in portfolio management will be covered. Readings will be drawn from the literature and extensive class notes. MATH-GA.2753-001 Advanced Risk Management 3 Points, Mondays, 7:10-9:00PM, Ken Abbott Prerequisites . Derivative Securities, Computing in Finance or equivalent programming. The importance of financial risk management has been increasingly recognized over the last several years. This course gives a broad overview of the field, from the perspective of both a risk management department and of a trading desk manager, with an emphasis on the role of financial mathematics and modeling in quantifying risk. The course will discuss how key players such as regulators, risk managers, and senior managers interact with trading. Specific techniques for measuring and managing the risk of trading and investment positions will be discussed for positions in equities, credit, interest rates, foreign exchange, commodities, vanilla options, and exotic options. Students will be trained in developing risk sensitivity reports and using them to explain income, design static and dynamic hedges, and measure value-at-risk and stress tests. Students will create Monte Carlo simulations to determine hedge effectiveness. Extensive use will be made of examples drawn from real trading experience, with a particular emphasis on lessons to be learned from trading disasters. MATH-GA.2755-001 Project amp Presentation 3 Points, Wednesdays, 5:10-7:00PM, Petter Kolm Students in the Mathematics in Finance program conduct research projects individually or in small groups under the supervision of finance professionals. The course culminates in oral and written presentations of the research results. MATH-GA.2791-001 Derivative Securities 3 Points, Mondays, 7:10-9:00PM, Alireza Javaheri An introduction to arbitrage-based pricing of derivative securities. Topics include: arbitrage risk-neutral valuation the log-normal hypothesis binomial trees the Black-Scholes formula and applications the Black-Scholes partial differential equation American options one-factor interest rate models swaps, caps, floors, swaptions, and other interest-based derivatives credit risk and credit derivatives. MATH-GA.2792-001 Continuous Time Finance 3 Points, Wednesdays, 7:10-9:00PM, Bruno Dupire A second course in arbitrage-based pricing of derivative securities. Concerning equity and FX models: we39ll discuss numerous approaches that are used in practice in these markets, such as the local volatility model, Heston, SABR, and stochastic local volatility. The discussion will include calibration and hedging issues and the pricing of the most common structured products. Concerning interest rate models: we39ll start with a thorough discussion of one-factor short-rate models (Vasicek, CIR, Hull-White) then proceed to more advanced topics such as two-factor Hull-White, forward rate models (HJM) and the LIBOR market model. Throughout, the pricing of specific payoffs will be considered and practical examples and insights will be provided. We39ll conclude with a discussion of inflation models. MATH-GA.2798-001 Interest Rate amp Fx Models 3 Points, Thursdays, 5:10-7:00PM, Fabio Mercurio Prerequisites . Derivative Securities, Stochastic Calculus, and Computing in Finance (or equivalent familiarity with financial models, stochastic methods, and computing skills). The course is divided into two parts. The first addresses the fixed-income models most frequently used in the finance industry, and their applications to the pricing and hedging of interest-based derivatives. The second part covers the foreign exchange derivatives markets, with a focus on vanilla options and first-generation (flow) exotics. Throughout both parts, the emphasis is on practical aspects of modeling, and the significance of the models for the valuation and risk management of widely-used derivative instruments. MATH-GA.2799-001 Securitized Products amp Structured Finance 1.5 Points, Thursdays, 7:10-9:00PM, Rodney Sunada-Wong Course dates: Jan. 23, 2017 - Mar. 10, 2017 Prerequisites: Basic bond mathematics and bond risk measures (duration and convexity) Derivative Securities and Stochastic Calculus. This half-semester course will cover the fundamentals of Securitized Products, emphasizing Residential Mortgages and Mortgage-Backed Securities (MBS). We will build pricing models that generate cash flows taking into account interest rates and prepayments. The course will also review subprime mortgages, CDOrsquos, Commercial Mortgage Backed Securities (CMBS), Auto Asset Backed Securities (ABS), Credit Card ABS, CLOrsquos, Peer-to-peer MarketPlace Lending, and will discuss drivers of the financial crisis and model risk. MATH-GA.2800-001 Energy Markets And Derivatives 1.5 Points, Thursdays, 7:10-9:00PM, Glen Swindle Course dates: Mar. 10, 2017 - May. 8, 2017 Prerequisites: Derivative Securities and Stochastic Calculus. This half-semester course focuses on energy commodities and derivatives, from their basic fundamentals and valuation, to practical issues in managing structured energy portfolios. We develop a risk neutral valuation framework starting from basic GBM and extend this to more sophisticated multi-factor models. These approaches are then used for the valuation of common, yet challenging, structures. Particular emphasis is placed on the potential pitfalls of modeling methods and the practical aspects of implementation in production trading platforms. We survey market mechanics and valuation of inventory options and delivery risk in the emissions markets. MATH-GA.2801-001 Advanced Topics In Equity Derivatives 1.5 Points, Mondays, 5:10-7:00PM, Sebastien Bossu Course dates: Mar. 10, 2017 - May. 8, 2017 Prerequisites: Derivative Securities, Stochastic Calculus, and Computing in Finance or equivalent programming experience. This half-semester course will give a practitionerrsquos perspective on a variety of advanced topics with a particular focus on equity derivatives instruments, including volatility and correlation modeling and trading, and exotic options and structured products. Some meta-mathematical topics such as the practical and regulatory aspects of setting up a hedge fund will also be covered. MATH-GA.2802-001 Market Microstructure 1.5 Points, Wednesdays, 7:10-9:00PM, Gordon Ritter Course dates: Jan. 23, 2017 - Mar. 10, 2017 Prerequisites: Derivative Securities, Risk amp Portfolio Management with Econometrics, and Computing in Finance or equivalent programming experience. This is a half-semester course covering topics of interest to both buy-side traders and sell-side execution quants. The course will provide a detailed look at how the trading process actually occurs and how to optimally interact with a continuous limit-order book market. We begin with a review of early models, which assume competitive suppliers of liquidity whose revenues, corresponding to the spread, reflect the costs they incur. We discuss the structure of modern electronic limit order book markets and exchanges, including queue priority mechanisms, order types and hidden liquidity. We examine technological solutions that facilitate trading such as matching engines, ECNs, dark pools, multiple venue problems and smart order routers. The second part of the course is dedicated pre-trade market impact estimation, post-trade slippage analysis, optimal execution strategies and dynamic no-arbitrage models. We cover Almgren-Chriss model for optimal execution, Gatheralrsquos no-dynamic-arbitrage principle and the fundamental relationship between the average response of the market price to traded quantity, and properties of the decay of market impact. Homework assignments will supplement the topics discussed in lecture. Some coding in Java will be required and students will learn to write their own simple limit-order-book simulator and analyze real NYSE TAQ data. MATH-GA.2840-001 Advanced Topics In Applied Math: Data Analysis Through Optimal Transport 3 Points, Mondays, 1:25-3:15PM, Esteban Tabak This course will present an evolving methodology for the explanation of variability in data in terms of known and unknown factors, based on the mathematical theory of optimal transport. Real world observations can be highly individualized. Medical data, for instance, aggregates samples of patients having each a unique combination of age, sex, diet, prior conditions and prescribed drugs samples that are often collected and analyzed at facilities with different equipment and personnel. In addition, each patient has an underlying health state that one would like to extract from the data. The individualized nature of data provides a door to personalized medicine and, more generally, to increased predictability, but also brings in a number of mathematical challenges. The connection to optimal transport presents itself naturally in the context of removing from observations the variability attributable to a factor z. The existence of such attributable variability means that the conditional distribution p(xz) depends on z. Removing the attributable variability is therefore tantamount to estimating a set of maps x y Y (x z) so that none of the variability remaining in y can be attributed to z. In addition, one wants these maps to distort the data minimally, so that the variability not related to z is unaffected by the transformation from x to y. This class will explore how these ideas can be expanded to provide a general framework for the analysis of data, including broad generalizations of classical tools such as clustering by k-means and principal component analysis. MATH-GA.2840-002 Advanced Topics In Applied Math: Matching Models And Their Applications 3 Points, Mondays, 9:00-10:50AM, Alfred Galichon This course provides the mathematical and computational tools needed for an operational knowledge of discrete choice models, matching models, and network flow models. A number of economic applications of these concepts will be discussed. The first part of the course will introduce basic results around Optimal Transportation theory: the Monge-Kantorovich duality, the Optimal Assignment Problem, basic results in Linear Programming, and Convex Analysis. Those concepts will serve as building blocks in the sequel. The second part will cover discrete choice models, from the classical theory to more recent advances. The classical Generalized Extreme Value (GEV) specification will be recalled, as well as Maximum Likelihood estimation in the parametric case. Comparative statics results will be derived using tools from Convex Analysis, and nonparametric identification will be worked out using Optimal Transport theory. Simulation methods will be covered. A computationally intensive application will be demonstrated. The third part will be devoted to matching models with stochastic utility, starting with the Transferable Utility (TU) case which is then generalized to Imperfectly Transferable Utility (ITU) including Non-transferable Utility (NTU). Equilibrium computation in the general case will be worked out using techniques from General Equilibrium. The more specific, but empirically relevant logit case, will be efficiently addressed using more the specific techniques or Iterative Fitting. Various algorithms will be described and compared in practice. Moment Matching Estimation and Maximum Likelihood Estimation will be worked out and compared. Several applications, to Collective Models of Family Economics, and to Labor Markets with taxes, will be described. Time permitting, the fourth and last part will provide an introduction to problems on networks. The basic tools to describe the topology on a network will be described: discrete differential operators, diffusions on networks, shortest paths on networks. The Optimal Transport problem on networks will be formulated, along with its extension to stochastic utility. Required Texts: The first part of the course will be based on my textbook: OTME Optimal Transport Methods in Economics (Princeton University Press, in press), a draft of which is available here . TSM A. Roth and M. Sotomayor, Two-Sided Matching A study in Game-Theoretic Modeling and Analysis, Monographs of the Econometrics Society, 1990. DCMS Train, K. Discrete Choice Methods with Simulation. 2nd Edition. Cambridge University Press, 2009. TOT C. Villani, Topics in Optimal transportation, AMS, 2003. Cross-listing: ECON-GA 1702.001. MATH-GA.2840-003 Advanced Topics In Applied Math: TBA 3 Points, Thursdays, 9:00-10:50AM, Eric Vanden Eijnden Many problems arising e. g. in the context of statistical mechanics, material science, or data assimilation involve computing expectations over probability distributions defined on high-dimensional spaces. These problems are typically beyond analytical solutions and therefore requires one to use numerical methods such as Monte Carlo (MC) simulations. In fact, even vanilla MC simulations are inadequate for many tasks at hand: rather specific methods must be developed that take into account the specificity of the problem to reduce the computational cost: these techniques go by the generic name of importance sampling. In this class, I will discuss selected topics in this context, with applications to the calculation of free energies, the analysis of reactive events in metastable systems, the estimation of the likelihood of extreme events, the calculation of large deviation functions arising e. g. from work relations in nonequilibrium statistical mechanics, and the calculation of parameters by Bayesian estimation. MATH-GA.2840-004 Advanced Topics In Applied Math: Modeling And Experiment In Fluid Dynamics 3 Points, Fridays, 11:00-12:50PM, Leif Ristroph This course will explore how applied mathematics and math modeling can productively interact with the experimental sciences and with real-world data. The course will involve projects in fluid dynamics, each of which has an experimental system in the Applied Math Lab. Students will work in small groups to gather experimental data, with an emphasis on discovery and characterization of phenomena, and they will formulate mathematical or computational models to account for these observations and make testable predictions. The projects will be drawn from modern fluid dynamics research and will explore fascinating questions relevant to life and earth, such as: What is the fluid dynamics of bird flocks and fish schools, and How does erosion by water or wind sculpt the landforms and landscapes around us MATH-GA.2852-001 Advanced Topics In Math Biology: Stochastic Problems In Biology And Neuroscience 3 Points, Wednesdays, 1:25-3:15PM, Daniel Tranchina Prerequisites: elementary background in ODEs, PDEs, probability theory, Fourier transforms. A variety of topics of current interest in biology and neuroscience will be addressed. Topics include: (1) Stochastic gene expression: analytical modeling of stochastic messenger RNA synthesis and degradation discrete and continuous models master equation generating function steady-state distributions temporal evolution of the distributions stochastic protein product. (2) Stochastic cell divisions and population growth: mean growth rate age distributions optimal lineage. (3) Evolution of fitness in yeast populations in the absence of selective pressures. (4) Single-photon responses of retinal rods statistical measures of variability reproducibility of the single-photon response explicit biochemical kinetic models model testing with Monte Carlo simulations. (5) Stochastic switching between bistable percepts, e. g. 2 very different auditory percepts induced by A-B-A tone sequence. (6) Optimal filtering of photon noise in vision. (7) Stochastic behavior of neurons in the central nervous system: models for synaptic noise spike train statistics and renewal theory. (8) Probability density methods for large-scale modeling of neural networks: partial differential-integral equations Fokker-Plank approximation applications to modeling visual cortex. MATH-GA.2852-002 Advanced Topics In Math Biology: Physical Biology 3 Points, Tuesdays, 1:25-3:15PM, David Cai The course aims to demonstrate the richness and complexity of the living cell by way of introducing basic phenomena of biological processes in cells. In demonstrating underlying unifying physical principles, the course will emphasize physical intuitive pictures and mathematical tools for understanding properties of the living cell. The course will cover the following materials: Basics of molecular biology of the cellsequencesspecificityevolution Mechanicalchemicalthermodynamic processes in living cells Mechanical properties of cytoskeletonsPolymers (beam theory) Energy and the life of cellsATP hydrolysisEntropyhydrophobicitydepletion forcesosmotic pressure free energy Statistical mechanics of cellsChemical forcesDeltaGTransition rate theoryKramer39s theoryself-assembly Random walksTransportDiffusion in the cellFluctuation-dissipation theorem HydrodynamicsStokes flowdragswimming bacteriaBlood flow ElectrostaticsSalty solutionsPoisson-Boltzmann Equationselectrochemical equilibrium and the Nernst equationAction PotentialHodgkin-Huxley model Biological membranesIon channelsvesiclesactive membranes Case study: Molecular motors MATH-GA.2901-001 Basic Probability 3 Points, Wednesdays, 7:10-9:00PM, Zsolt Pajor-Gyulai The one-semester course introduces the basic concepts and methods of probability. Topics include: probability spaces, random variables, distributions, law of large numbers, central limit theorem, random walk martingales in discrete time, and if time permits Markov chains and Brownian motion. Probability Essentials by J. Jacod and P. Protter Probability: Theory and Examples (4th edition) by R. Durrett MATH-GA.2902-001 Stochastic Calculus 3 Points, Thursdays, 7:10-9:00PM, Alexey Kuptsov Prerequisites . MATH-GA 2901 Basic Probability or equivalent. Review of basic probability and useful tools. Bernoulli trials and random walk. Law of large numbers and central limit theorem. Conditional expectation and martingales. Brownian motion and its simplest properties. Diffusion in general: forward and backward Kolmogorov equations, stochastic differential equations and the Ito calculus. Feynman-Kac and Cameron-Martin Formulas. Applications as time permits. Optional Problem Session: Monday, 6:00-7:00. Text . Durrett, R. (1996). Probability and Stochastics Series Series, Bk. 6. Stochastic Calculus: A Practical Introduction . New York, NY: CRC Press. MATH-GA.2912-001 Probability: Limit Theorems II 3 Points, Wednesdays, 9:00-10:50AM, Henry McKean Independent increment processes, especially Poisson processes and Brownian motion. Markov chains. Stochastic differential equations and diffusions, Markov processes in general, semi-groups, generators and connection with partial differential equations. Recommended amp On Reserve Text: McKean (Henry) Probability: The Classical Limit Theorems. Cambridge University Press, Cambridge, U. K. 2014. Supplementary Reading: Varadhan, S. R.S. (2007). Courant Lecture Series in Mathematics Series, Bk. 16. Stochastic Processes. Providence, RI: American Mathematical SocietyCIMS MATH-GA.2932-001 Advanced Topics In Probability:Complexity Of Random Functions Of Many Variables 3 Points, Wednesdays, 3:20-5:10PM, Gerard Ben Arous Prerequisites: The prerequisites for this class are mainly Limit Theorems in Probability, and some differential geometry. If you know some random matrix theory, or statistical physics, it is helpful but not required. Random functions of many variables tend to be very complex. The number of critical points can be very large, the topology of the level sets very intricate. This has important consequences for optimization problems in random landscapes in high dimensions. We will illustrate these geometric sentences by examples coming from statistical physics of disordered media, and then from machine learning. The common mathematical tool underlying these different questions is given by Random Matrix Theory, through the classical Kac-Rice formula of random differential geometry. We will begin by giving a brief introduction to the general framework for studying random gaussian fields, or random gaussian functions, of many variables, as given in the excellent books by Adler-Taylor andor Azais-Wschebor, and get quickly to the Kac-Rice formula. We will then survey quickly the needed results from Random Matrix Theory. The next step will be to survey recent work describing this complexity phenomenon and its consequences, first from a geometric point of view, i. e random Morse theory. We will illustrate it first in the case of general Gaussian random functions on the high-dimensional sphere. These random functions happen to be the energy landscapes of important models of statistical physics of disordered media, i. e spherical spin glasses. Some recent important progress has been achieved, but many open questions remain in this field, and we will explore some of them. We will then see how this picture could be extended to the random landscapes of deep learning algorithms, which are at the heart of some of the recent progress in Data Science. MATH-GA.3003-001 Ocean Dynamics 3 Points, Tuesdays, 1:25-3:15PM, Shafer Smith The goal of this course is to introduce students to modern dynamical oceanography, with a focus on mathematical models for observed phenomena. The lectures will cover the observed structure of the ocean, the thermodynamics of sea-water, the equations of motion for rotating-stratified flow, and the most useful approximations thereof: the primitive, planetary geostrophic and quasi-geostrophic equations. The lectures will demonstrate how these approximations can be used to understand boundary layers, wind-driven circulation, buoyancy-driven circulation, oceanic waves (Rossby, Kelvin and inertio-gravity), potential vorticity dynamics, theories for the observed upper-ocean stratification (the thermocline), and for the global general circulation. Additionally the course will cover relevant oceanic fluid instabilities and their resulting turbulence: mesoscale turbulence driven by baroclinic instability, convective turbulence and high-latitude sinking, and mixing across density surfaces due to shear-driven turbulence. Finally, we will discuss tides and the observed internal wave spectrum. Throughout the lectures, the interplay between observational, theoretical, and modeling approaches to problems in oceanography will be highlighted. Course activities will include a few problem sets and class presentations. quotThe Theory of Large-Scale Ocean Circulationquot by R. Samelson (Cambridge 2011) quotAtmospheric and Oceanic Fluid Dynamicsquot by G. K. Vallis (Cambridge 2006) quotLectures on Geophysical Fluid Dynamicsquot by R. Salmon (Oxford 1998) In addition, will read relevant journal articles each week.
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